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【央视新闻客户端】

网上科普有关“小学五年级上学期数学概念知识点 ”话题很是火热，小编也是针对小学五年级上学期数学概念知识点寻找了一些与之相关的一些信息进行分析
，如果能碰巧解决你现在面临的问题，希望能够帮助到您
。

我知道的五年级上册数学知识点：

小数乘小数

知识点一：

因数与积的小数位数的关系：因数中共有几位小数 ，积中就有几位小数。

知识点二：

小数乘法的一般计算方法：

先按整数乘法算出积
，再给积点上小数点乘得的积的小数位数不够要在积的前面用0补足，在点小数点 。

知识点三：

小数乘法的验算方法：

把因数的位置交换相乘

数学小知识手抄报简单(数学小知识手抄报内容一两百字)

自然数：我们在数物体的时候 ，用来表示物体个数的1
，2，3?叫做自然数
。 一个物体也没有 ，用0表示。0也是自然数 。

计数单位：一（个） 、十
、百、千 、万
、十万、百万 、千万、亿?都是计数单位。 每相邻两个计数单位之间的进率都是10
。这样的计数法叫做十进制计数法。

数位：计数单位按照一定的顺序排列起来
，它们所占的位置叫做数位 。

数的整除：整数a除以整数b(b ≠ 0），除得的商是整数而没有余数 ，我们就说a能被b整除
，或者说b能整除a 
。

如果数a能被数b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍数 ，b就叫做a的约数（或a的因数）。倍数和约数是相互依存的 。

因为35能被7整除，所以35是7的倍数
，7是35的约数
。

有趣的数学科普小知识有哪些？

1.数学小知识手抄报内容 一两百字

可以写一些数学家的故事
、应用题小常识

■简历：

1933年5月22日生于福建闽侯。家境贫寒，学习刻苦 ，他在中、小学读书时
，就对数学情有独钟 。一有时间就演算习题，在学校里成了个“小数学迷
”
。他不善言辞 ，为人真诚和善
，从不计较个人得失，把毕生经历都献给了数学事业。高中没毕业就以同等学历考入厦门大学 。1953年毕业于厦门大学数学系
。1957年进入中国科学院数学研究所并在华罗庚教授指导下从事数论方面的研究。历任中国科学院数学研究所研究员 、学术委员会委员兼贵阳民族学院
、河南大学、青岛大学 、华中工学院
、福建师范大学等校教授 ，国家科委数学学科组成员
，《数学季刊》主编等职 。主要从事解析数论方面的研究，并在哥德巴赫猜想研究方面取得国际领先的成果。这一成果国际上誉为“陈氏定理” ，受到广泛引用
。

■主要成果：

1742年6月7日
，德国数学家哥德巴赫提出一个未经证明的数学猜想“任何一个偶数均可表示两个素数之和 ”简称：“ 1+1
”。这一猜想被称为“哥德巴赫猜想” 。中国人运用新的方法，打开了“哥德巴赫猜想 ”的奥秘之门 ，摘取了此项桂冠，为世人所瞩目
。这个人就是世界上攻克“哥德巴赫猜想”的第一个人——陈景润。

陈景润除攻克这一难题外
，又把组合数学与现代经济管理、尖端技术和人类密切关系等方面进行了深入的研究和探讨 。他先后在国内外报刊上发明了科学论文70余篇，并有《数学趣味谈》 、《组合数学》等著作
。

陈景润在解析数论的研究领域取得多项重大成果 ，曾获国家自然科学奖一等奖
、何梁何利基金奖、华罗庚数学奖等多项奖励。他是第四 、五
、六届全国人民代表大会代表 。著有《数学趣味谈》、《组合数学》等
。

■巨星的陨落 ：

1984年4月27日
，陈景润在横过马路时，被一辆急驶而来的自行车撞倒 ，后脑着地
，酿成意外的重伤。雪上加霜，身体本来就不大好的陈景润 ，受到了几乎致命的创伤 。他从医院里出来
，苍白的脸上，有时泛着让人忧郁的青灰色 ，不久
，终于诱发了帕金森氏综合症
。

1996年3月19日，著名数学家陈景润因病长期住院 ，经抢救无效逝世，终年63岁。

这是数学家陈景润的
，你可以选其中一段

2.数学手抄报内容 资料

第一写关于数学的名言 罗素说：“数学是符号加逻辑
” 毕达哥拉斯说：“数支配着宇宙” 哈尔莫斯说：“数学是一种别具匠心的艺术 ” 米斯拉说：“数学是人类的思考中最高的成就
” 培根（英国哲学家）说：“数学是打开科学大门的钥匙” 布尔巴基学派（法国数学研究团体）认为：“数学是研究抽象结构的理论 ” 黑格尔说：“数学是上帝描述自然的符号
” 魏尔德（美国数学学会主席）说：“数学是一种会不断进化的文化” 柏拉图说：“数学是一切知识中的最高形式 ” 考特说：“数学是人类智慧皇冠上最灿烂的明珠
” 第二写关于数学的意义 数学，作为人类思维的表达形式 ，反映了人们积极进取的意志 、缜密周详的逻辑推理及对完美境界的追求 。

它的基本要素是：逻辑和直观、分析和推理
、共性和个性。虽然不同的传统学派可以强调不同的侧面
，然而正是这些互相对立的力量的相互作用，以及它们综合起来的努力 ，才构成了数学科学的生命力、可用性和它的崇高价值
。

第三写关于数学的小故事 数学名人小故事-康托尔 由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果（称为“悖论”）
，许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度。在1874—1876年期间，不到30岁的年轻德国数学家康托尔向神秘的无穷宣战 。

他靠着辛勤的汗水 ，成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应
，也能和空间中的点一一对应
。这样看起来，1厘米长的线段内的点与太平洋面上的点 ，以及整个地球内部的点都“一样多 ”
，后来几年，康托尔对这类“无穷 *** 
”问题发表了一系列文章 ，通过严格证明得出了许多惊人的结论。

康托尔的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突，遭到一些人的反对 、攻击甚至谩骂 。有人说
，康托尔的 *** 论是一种“疾病”，康托尔的概念是“雾中之雾 ” ，甚至说康托尔是“疯子”
。

来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托尔
，使他心力交瘁，患了精神分裂症 ，被送进精神病医院。 真金不怕火炼
，康托尔的思想终于大放光彩 。

1897年举行的第一次国际数学家会议上，他的成就得到承认 ，伟大的哲学家
、数学家罗素称赞康托尔的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作
。
”可是这时康托尔仍然神志恍惚
，不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦。

1918年1月6日，康托尔在一家精神病院去世 。 最后 ，可以写关于数学的笑话 小明小学数学考试
，回来后他妈问他考得怎么样.小明说："我基本上会做，但有一题3乘7 ，我怎么也想不出来.最后打铃了，我不管三七二十一就写了个18."
。

3.怎么做数学手抄报简单

方法/步骤

1

一般来说
，制作手抄报使用的纸张都是素描纸。

素描纸可以在文具店买到，一般使用的大小是4开或者8开 ，不过
，4开的手抄报太大，会给制作手抄报带来很大难度 。

相比之下 ，8开正好16开太小
，建议购买8开的素描纸，质量稍好一点的 ，就可以开始制作了。

2

第一个小窍门就是加边
。

有过制作手抄报经验的人都知道
，我们要在一张8开大小的素描纸上忙活好久，很多时候 ，一张手抄报做完
，那张素描纸的边缘已经变得不成样子了。解决这个问题的方法就是加边 。

笔者的小学老师建议加两厘米，笔者试过以后觉得太宽 ，八毫米已经足够
。而且这个宽度可以用普通的胶带来衡量，如果将普通的胶带绑在素描纸的边上
，会对你的素描纸起到极大地保护作用。并且，在整张手抄报完成之后 ，会使手抄报显得非常清爽、整洁 。

3

通常来说
，制作手抄报，无论是数学手抄报也好 ，语文手抄报也罢
，都需要制作人去查阅有关的书籍资料，以充做手抄报的内容
。

这里也给个小建议 ，千万不要选择太长的故事。在现在的书籍上
，我们能看到的字都是很小号的，让我们用手把它抄写出来 ，会显得很多
，很长 。如果一不小心选择了一个漫长的故事，那可就悲催了呀
。

4

查阅好资料之后就要开始排版。这个步骤可以和上一个步骤交替进行 。

毕竟在排版的时候 ，我们会发现，有的故事过长
，有的故事过短，或者在替换之后 ，会有更好的效果
。两个步骤
，相互协调，最后确定大概的排版。

如果是要制作一张数学手抄报 ，可以选择一些数学图案的由来 、数学家的小故事
、关于数学的名言、关于数学的小笑话
，等等 。

这个时候的排版可以在草稿纸上进行！

5

开始制作手抄报的时候，不要一上来就用无法修改的水笔 ，或者钢笔
，也不要使用彩铅或者油画棒。

最佳的选择是使用铅笔，打一个大概的轮廓 ，明确素描纸的每一个部分大概要写的内容
，然后补充上各种各样分隔线，比如直线 、波浪线
、虚线、s型线等等 ，之后在大概的分隔线上添加一些花边，或者小图案
，或者是文本框一样的卷轴
。

在需要填充文字的文本框里可以选择用铅笔尺子打上格子，格子的宽窄由制作人来决定 ，但是同一个小故事的宽窄要相似。如果不想写那么多字的话
，就把字写大一点，把格子画宽一点 。

以上内容 ，最好都用铅笔完成
。

6

接下来就是要添加文字内容了。

因为之前所做的所有工作都是用铅笔完成的
，而一旦有了铅笔的轮廓之后，就可以放心大胆地 ，用不褪色的水笔或者钢笔在上面写字了 。

同一张手抄报上可以有不同颜色的笔写出来的字
。比如说左上角选择用黑笔
，右下角可以选择用蓝笔。相邻板块的颜色，也最好选择不相似 。除非整个布局有特殊的含义
。

但是需要提醒的一件事情是 ，不要用红笔在上面写字。因为无论从哪个方面来说
，用红笔制作的手抄报，都显得很不妥 。

7

刚抄写完文字部分之后 ，手抄报的格局已经定下来了，接下来所剩下来的就是修饰
。修饰步骤
，建议使用彩铅，和有颜色的水笔。

毕竟水粉 、油画什么的 ，用于制作手抄报
，还真的不是一般人能够hold得住的 。如果只用黑色的单调的水笔，大概显得比较压抑 ，如果使用铅笔素描的话
，这张手抄报很容易就会模糊。

8

将原有的铅笔痕迹，一点一点地擦除 ，再换上水笔和彩铅描绘精心描绘的图案
。

一定要将铅笔痕迹擦除才能用彩铅描绘
，不然会把纸张弄得非常脏哦。

在一些不明显的地方，如果需要画得更清新明亮一点 ，就可以使用红色
，蓝色，或者黑色的水笔 ，其实已经足够了 。

还记得原来我们话在文字下方的横线吗？那些横线你可以选择用水笔重新描一遍，也可以选择将它们全部擦除
。如果你将它们全部描一遍
，然后再用橡皮擦去铅笔的痕迹，会得到意想不到的奇妙结果哦！

9

记得在完成整张手抄报之后 ，一定要加以适当的调整
，这样会使你的手抄报看上去更加的美观。

这些调整包括：错别字的修改
、多余铅笔线的擦除、添加部分小插画 、填充空白且突兀的地方、精心描绘分隔线……

对啦，要在右下角写上你的大名和制作日期哦 ，日后回来看
，很有纪念意义的！

4.小学数学手抄报的知识

师大版小学数学五年级（下册）知识点一单元：《分数乘法》分数乘法（一）知识点：1
、理解分数乘整数的意义 。

分数乘整数的意义同整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算
。 2、分数乘整数的计算方法。

分母不变 ，分子和整数相乘的积作分子 。能约分的要约成最简分数
。

3 、计算时
，可以先约分在计算。分数乘法（二）知识点：1
、结合具体情境，进一步探索并理解分数乘整数的意义 ，并能正确进行计算 。

2、能够求一个数的几分之几是多少
。 3 、理解打折的含义。

例如：九折
，是指现价是原价的十分之九 。分数乘法（三）知识点：1
、分数乘分数的计算方法，并能正确进行计算。

分子相乘做分子 ，分母相乘做分母，能约分的可以先约分
。计算结果要求是最简分数。

2、比较分数相乘的积与每一个乘数的大小 。 真分数相乘积小于任何一个乘数；真分数与假分数相乘积大于真分数小于假分数
。

二单元：《长方体（一）》长方体的认识知识点：1 、认识长方体
、正方体
，了解各部分的名称。 2、长方体 、正方体各自的特点 。

顶 点 面 棱 个 数 个 数 形 状 大小关系 条数 长度关系 8 6 都是长方形，特殊的有两个相对的面是正方形 ，其余四个面是完全一样的长方形
。 相对的面是完全一样的长方形。

12 可以分为三组
，相对的棱平行且相等 。 8 6 都是正方形
。

每个面都是正方形。 12 长度都相等 。

3
、知道正方体是特殊的长方体
。4、能计算长方体 、正方体的棱长总和。

长方体的棱长总和=（长+宽+高）*4或者是长*4+宽*4+高*4正方体的棱长总和=棱长*12灵活运用公式，能求出长方体的长、宽
、高或是正方体的棱长 。展开与折叠知识点：1、认识并了解长方体和正方体的平面展开图。

2 、了解正方体平面展开图的几种形式 ，并以此来判断
。长方体的表面积知识点：1
、理解表面积的意义。

是指六个面的面积之和 。2、长方体和正方体表面积的计算方法
。

3 、能结合生活中的实际情况
，计算图形的表面积。露在外面的面知识点：1
、在观察中，通过不同的观察策略进行观察 。

如：一种是看每个纸箱露在外面的面 ，再加到一起；另一种是分别从正面、上面 、侧面进行不同角度的观察
，看每个角度都能看到多少个面，再加到一起
。 2
、发现并找出堆放的正方体的个数与露在外面的面的面数的变化规律。

三单元：《分数除法》倒数知识点：1、发现倒数的特征并理解倒数的意义 。 如果两个数的乘积是1 ，那么我们称其中一个数是另一个数的倒数
。

倒数是对两个数来说的
，并不是孤立存在的。 2 、求倒数的方法 。

把这个数的分子和分母调换位置
。 3
、1的倒数仍是1;0没有倒数。

0没有倒数，是因为在分数中 ，0不能做分母 。分数除法（一）知识点：1、分数除以整数的意义及计算方法。

分数除以整数，就是求这个数的几分之几是多少
。分数除以整数（0除外）等于乘这个数的倒数。

分数除法（二）知识点：1 、一个数除以分数的意义和基本算理 。一个数除以分数的意义与整数除法的意义相同；一个数除以分数等于乘这个数的倒数
。

2、掌握一个数除以分数的计算方法。 除以一个数（0除外）等于乘这个数的倒数 。

3
、比较商与被除数的大小
。 除数小于1
，商大于被除数； 除数等于1。

商等于被除数； 除数大于1，商小于被除数 。分数除法（三）知识点：1、列方程“求一个数的几分之几是多少”
。

2 、利用等式的性质解方程。 3
、理解打折的含义 。

如：打8折就是指现价是原价的十分之八
。数学与生活粉刷墙壁知识点：1、明确我们在粉刷教室墙壁时必须知道的条件。

2 、根据实际情况进行计算相应的面积 。折叠：知识点：1
、体会立体图形与展开图形之间的关系 ，发展空间观念。

2、能正确判断平面展开图所对应的简单立体图形
。四单元：《长方体（二）》体积与容积知识点：1 、体积与容积的概念。

体积：物体所占空间的大小叫作物体的体积 。 容积：容器所能容纳入体的体积叫做物体的容积
。

体积单位知识点：1
、认识体积、容积单位。 常用的体积单位有：立方厘米 、立方分米
、立方米 。

2、感受1立方米 、1立方分米、1立方厘米以及1升
、1毫升的实际意义
。补充知识点：冰箱的容积用“升 ”作单位；我们饮用的自来水用“立方米
”作单位。

长方体的体积知识点：1、结合具体情境和实践活动
，探索并掌握长方体 、正方体体积的计算方法 。 长方体的体积=长*宽*高 正方体的体积=棱长*棱长*棱长 长方体（正方体）的体积=底面积*高 2
、能利用长方体（正方体）的体积及其他两个条件求出问题
。

如：长方体的高=体积/长/宽补充知识点：长方体的体积=横截面面积*长体积单位的换算知识点：1、体积 、容积单位之间的进率。 相邻两个体积单位
、容积单位之间的进率是1000 。

有趣的测量知识点：1、不规则物体体积的测量方法
。 2 、不规则物体体积的计算方法。

五单元：《分数混合运算》分数混合运算（一）知识点：1
、体会分数混合运算的运算顺序和整数是一样的 。分数混合运算（二）知识点：整数的运算律在分数运算中同样适用。

分数混合运算（三）知识点：1、利用方程解决与分数运算有关的实际问题
。 2 、分数中的估算。

3
、利用线段图来分析题中的数量关系 。 4、对最后结
。

5.数学手抄报的资料.要简短.快快.急~~

中国古代数学发展史 数学古称算学，是中国古代科学中一门重要的学科 ，根据中国古代数学发展的特点
，可以分为五个时期：萌芽；体系的形成；发展；繁荣和中西方数学的融合。

中国古代数学的萌芽 原始公社末期，私有制和货物交换产生以后 ，数与形的概念有了进一步的发展
，仰韶文化时期出土的陶器，上面已刻有表示1234的符号 。到原始公社末期 ，已开始用文字符号取代结绳记事了
。

西安半坡出土的陶器有用1~8个圆点组成的等边三角形和分正方形为100个小正方形的图案
，半坡遗址的房屋基址都是圆形和方形。为了画圆作方，确定平直 ，人们还创造了规 、矩、准
、绳等作图与测量工具 。

据《史记·夏本纪》记载，夏禹治水时已使用了这些工具
。 商代中期
，在甲骨文中已产生一套十进制数字和记数法，其中最大的数字为三万；与此同时 ，殷人用十个天干和十二个地支组成甲子、乙丑 、丙寅
、丁卯等60个名称来记60天的日期；在周代
，又把以前用阴、阳符号构成的八卦表示八种事物发展为六十四卦，表示64种事物。

公元前一世纪的《周髀算经》提到西周初期用矩测量高 、深
、广、远的方法 ，并举出勾股形的勾三 、股四
、弦五以及环矩可以为圆等例子 。《礼记·内则》篇提到西周贵族子弟从九岁开始便要学习数目和记数方法
，他们要受礼、乐 、射
、驭、书 、数的训练，作为“六艺”之一的数已经开始成为专门的课程
。

春秋战国之际 ，筹算已得到普遍的应用
，筹算记数法已使用十进位值制，这种记数法对世界数学的发展是有划时代意义的。这个时期的测量数学在生产上有了广泛应用 ，在数学上亦有相应的提高 。

战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展
，尤其是对于正名和一些命题的争论直接与数学有关。名家认为经过抽象以后的名词概念与它们原来的实体不同，他们提出“矩不方 ，规不可以为圆 ”，把“大一
”（无穷大）定义为“至大无外”
，“小一 ”（无穷小）定义为“至小无内
”
。

还提出了“一尺之棰，日取其半 ，万世不竭”等命题。 而墨家则认为名来源于物
，名可以从不同方面和不同深度反映物 。

墨家给出一些数学定义
。例如圆、方
、平、直 、次（相切）
、端（点）等等。

墨家不同意“一尺之棰 ”的命题，提出一个“非半
”的命题来进行反驳：将一线段按一半一半地无限分割下去 ，就必将出现一个不能再分割的“非半”
，这个“非半 ”就是点 。 名家的命题论述了有限长度可分割成一个无穷序列，墨家的命题则指出了这种无限分割的变化和结果
。

名家和墨家的数学定义和数学命题的讨论 ，对中国古代数学理论的发展是很有意义的。 中国古代数学体系的形成 秦汉是封建社会的上升时期
，经济和文化均得到迅速发展 。

中国古代数学体系正是形成于这个时期，它的主要标志是算术已成为一个专门的学科 ，以及以《九章算术》为代表的数学著作的出现
。 《九章算术》是战国、秦 、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的总结
，就其数学成就来说，堪称是世界数学名著。

例如分数四则运算
、今有术（西方称三率法）、开平方与开立方（包括二次方程数值解法） 、盈不足术（西方称双设法）
、各种面积和体积公式、线性方程组解法 、正负数运算的加减法则
、勾股形解法（特别是勾股定理和求勾股数的方法）等 ，水平都是很高的 。其中方程组解法和正负数加减法则在世界数学发展上是遥遥领先的
。

就其特点来说，它形成了一个以筹算为中心、与古希腊数学完全不同的独立体系。 《九章算术》有几个显著的特点：采用按类分章的数学问题集的形式；算式都是从筹算记数法发展起来的；以算术 、代数为主
，很少涉及图形性质；重视应用，缺乏理论阐述等 。

这些特点是同当时社会条件与学术思想密切相关的。秦汉时期 ，一切科学技术都要为当时确立和巩固封建制度
，以及发展社会生产服务，强调数学的应用性
。

最后成书于东汉初年的《九章算术》 ，排除了战国时期在百家争鸣中出现的名家和墨家重视名词定义与逻辑的讨论
，偏重于与当时生产、生活密切相结合的数学问题及其解法，这与当时社会的发展情况是完全一致的。 《九章算术》在隋唐时期曾传到朝鲜
、日本 ，并成为这些国家当时的数学教科书 。

它的一些成就如十进位值制、今有术 、盈不足术等还传到印度和 *** 
，并通过印度
、 *** 传到欧洲，促进了世界数学的发展
。 中国古代数学的发展 魏、晋时期出现的玄学 ，不为汉儒经学束缚
，思想比较活跃；它诘辩求胜，又能运用逻辑思维 ，分析义理，这些都有利于数学从理论上加以提高。

吴国赵爽注《周髀算经》
，汉末魏初徐岳撰《九章算术》注，魏末晋初刘徽撰《九章算术》注 、《九章重差图》都是出现在这个时期 。赵爽与刘徽的工作为中国古代数学体系奠定了理论基础
。

赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明与推导的最早的数学家之一。他在《周髀算经》书中补充的“勾股圆方图及注”和“日高图及注
”是十分重要的数学文献 。

在“勾股圆方图及注”中他提出用弦图证明勾股定理和解勾股形的五个公式；在“日高图及注 ”中 ，他用图形面积证明汉代普遍应用的重差公式
，赵爽的工作是带有开
。

有趣的数学科普小知识如下：

一
、阿拉伯数字

阿拉伯数字是古代印度人发明的，后来传到阿拉伯 ，又从阿拉伯传到欧洲
，欧洲人误以为是阿拉伯人发明的，就把它们叫做“阿拉伯数字
”。因为流传了许多年 ，人们叫得顺口
，所以至今人们仍然将错就错，把这些古代印度人发明的数字符号叫做阿拉伯数字 。

二、九九歌

九九歌就是我们现在使用的乘法口诀
。远在公元前的春秋战国时代 ，九九歌就已经被人们广泛使用。在当时的许多著作中
，都有关于九九歌的记载 。最初的九九歌是从“九九八十一”起到“二二如四 ”止，共36句。因为是从“九九八十一
”开始 ，所以取名九九歌
。

大约在公元五至十世纪间，九九歌才扩充到“一一如一”。大约在公元十三 、十四世纪
，九九歌的顺序才变成和现在所用的一样，从“一一如一 ”起到“九九八十一
”止 。现在我国使用的乘法口诀有两种 ，一种是45句的
，通常称为“小九九”；还有一种是81句的，通常称为“大九九 ”
。

三
、莫比乌斯环

莫比乌斯环是一种拓扑学结构 ，它只有一个面和一个边界。可以用一根纸条扭转成180度后
，两头再粘接起来，就形成了莫比乌斯环 。

莫比乌斯环沿着中线剪开 ，第一次
，可以得到一个更大的环；第二次及以后，每次都会得到两个互相嵌套的环
。中间永远不会断开 ，这也是莫比乌斯环的神奇之处。

四、克莱因瓶

在1882年
，著名数学家菲利克斯·克莱因发现了后来以他的名字命名的著名“瓶子
”：克莱因瓶 。克莱因瓶就像是一个瓶子，但是它没有瓶底 ，它的瓶颈被拉长，然后似乎是穿过了瓶壁
，最后瓶颈和瓶底圈连在了一起
。有趣的是，如果把克莱因瓶沿着它的对称线切下去 ，竟会得到两个莫比乌斯环。

五 、黄金分割

黄金分割提出者是毕达哥拉斯 。

有一次
，毕达哥拉斯路过铁匠作坊，被叮叮当当的打铁声迷住了
。为了揭开这些声音的秘密 ，他测量了铁锤和铁砧的尺寸
，发现它们存在着十分和谐的比例关系。回家后，他取出一根线 ，分为两段
，反复比较，最后认定1:0.618的比例最为优美 。这个比例被公认为是最能引起美感的比例 ，因此被称为黄金分割。

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