教程辅助“博乐填大坑开挂图(小程序提高胜率)

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，2024微乐麻将插件安装这款游戏可以开挂的，确实是有挂的 ，通过微信【】很多玩家在这款游戏中打牌都会发现很多用户的牌特别好
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一
、2024微乐麻将插件安装有哪些方式
1、脚本开挂：脚本开挂是指在游戏中使用一些脚本程序，以获得游戏中的辅助功能 ，如自动完成任务 、自动增加经验值
、自动增加金币等
，从而达到游戏加速的目的 。
2、硬件开挂：硬件开挂是指使用游戏外的设备，如键盘 、鼠标
、游戏手柄等 ，通过技术手段
，使游戏中的操作更加便捷，从而达到快速完成任务的目的
。
3、程序开挂：程序开挂是指使用一些程序代码 ，以改变游戏的运行结果，如修改游戏数据 、自动完成任务等
，从而达到游戏加速的目的。

二
、2024微乐麻将插件安装的技术支持
1、脚本开挂：使用脚本开挂，需要游戏玩家了解游戏的规则 ，熟悉游戏中的操作流程
，并需要有一定的编程基础，以便能够编写出能够自动完成任务的脚本程序 。
2 、硬件开挂：使用硬件开挂 ，需要游戏玩家有一定的硬件知识
，并能够熟练操作各种游戏外设，以便能够正确安装和使用游戏外设 ，从而达到快速完成任务的目的
。
3
、程序开挂：使用程序开挂
，需要游戏玩家有一定的编程知识，并能够熟练操作各种编程语言 ，以便能够编写出能够改变游戏运行结果的程序代码
，从而达到游戏加速的目的。

三、2024微乐麻将插件安装的安全性
1 、脚本开挂：虽然脚本开挂可以达到游戏加速的目的，但是由于游戏开发商会不断更新游戏 ，以防止脚本开挂，因此脚本开挂的安全性不高 。
2、硬件开挂：使用硬件开挂
，可以达到快速完成任务的目的，但是由于游戏开发商会不断更新游戏 ，以防止硬件开挂
，因此硬件开挂的安全性也不高
。
3
、程序开挂：使用程序开挂，可以改变游戏的运行结果 ，但是由于游戏开发商会不断更新游戏
，以防止程序开挂，因此程序开挂的安全性也不高。

四、2024微乐麻将插件安装的注意事项
1 、添加客服微信【】安装软件.
2
、使用开挂游戏账号 ，因此一定要注意自己的游戏行为
，避免被发现 。
3、尽量不要使用第三方软件，通过微信【】安装正版开挂软件  ，因为这些软件第三方可能代码
，会给游戏带来安全隐患
。

网上有关“四年级上册数学第一单元手抄报
”话题很是火热，小编也是针对四年级上册数学第一单元手抄报寻找了一些与之相关的一些信息进行分析 ，如果能碰巧解决你现在面临的问题，希望能够帮助到您。

一 、 手抄报的形式 办手抄报用八开纸的版面
，中间对折成为一
、二两版 。要求有标题，有刊头刊尾。版面布局合理 ，排版设计匀称
。字迹规范美观
，一律用珠笔或钢笔书写。 二、 手抄报的内容 手抄报的内容丰富多样，既可以是课堂中的内容 ，也可以涉及课外的内容；既可以是语文知识
，也可以涉及物 、化
、数、英等其它学科的内容；既可以是知识积累为主，也可以涉及学法探讨 ，难题寻解；既可以复习旧知识
，也可以预习新内容 。具体要求：一般配合教学内容及进度来拟定小报的内容，每二周一期 ，每期要求有明确的标题
，确定重点内容
。主次分明，版面新颖活泼。 三 、 具体步骤 1
、 讲清意义 ，激发兴趣 办手抄报的意义在于：培养读写听说等实用的语文能力，实现学生在语文学习中的主体性发展 。通过引导学生动手动脑
，促进语文学习，培养学生学习语文的兴趣 ，提高学生运用语文的能力
。增强学生的独立性、主动性 、创造性。并让学生体会到语文是基础工具的特点 。关于学习语文的重要性
，大纲明确指出：“语文是学习和工作的基础工具
。语文学科是学习其他学科的基础。学好语文，不但对于学好其他学科十分必要 ，而且对于将来从事工作和学习会产生深远的影响 。”这是大纲对语文学科的明确定位
。从这“工具 ”和“基础
”两词中我们足以了解学好语文的重要性。然而
，现实生活中又有多少因语文不过关而影响了学习和工作的情况呢？有的同学理科学得很不错，而只因为文科太差而名落孙山 。有的人喜爱数学 ，可面对复杂的应用题却一筹莫展。

从牛角到圆角——小数二、四年级角的认识综述

古今中外有学问的人
，有成就的人，总是十分注意积累的
。知识就是机积累起来的 ， 经验 也是积累起来的。我们对什么事情都不应该像“过眼云烟”
，下面给大家带来一些关于2020小学四年级上册数学知识点归纳，希望对大家有所帮助 。

2020小学四年级上册数学知识点归纳1

第一单元 大数的认识

1
、计数单位：一(个)、十 、百
、千、万 、十万
、百万、千万 、亿……都是计数单位
。

2
、数位：个位、十位 、百位
、……亿位等等 ，都是数位。数位名称就是在相应的计数单位后添一个“位 ”字，如：万?万位 。

3、数级：个级 、万级、亿级……都是数级
，一个数级包括四个数位
。个级包括个位
、十位、百位 、千位;万级包括万位
、十万位、百万位 、千万位;亿级包括亿位
、十亿位、百亿位 、千亿位。

4
、数位顺序表：含有数级、数位和相应的计数单位的表格叫数位顺序表 。

5 、每相邻两个计数单位之间的进率都是“十
”
。

10个一万是十万，10个十万是一百万 ，10个一百万是一千万
，10个一千万是一亿。

6. 数字表示：某个数位上的数字表示几个这个数位的计数单位 。

如：12367 中的2在千位上，表示 “2个千”

某个数级上的数字表示几个这个数级的计数单位
。

如：36472845中的3647在万级上 ，表示 “3647个万 ”

7.大数的读法：可以先分级
，再读数。(1)含有两级数的读法：先读万级，再读个级;(2)含有三级数的读法：先读亿级 ，再读万级
，最后读个级 。每级末尾不论有几个0，都不读;每一级中间和前面有一个0 ，或连续几个0
，都只读一个0.

8
、大数的写法：可以先分级，再写数。(1)含有两级数的写法：先写万级 ，再写个级;(2)含有三级数的写法：先写亿级，再写万级
，最后写个级
。哪一位上一个计数单位也没有，就在哪一位上写0。

9.读写数检验 方法 ：读数和写数可以互相检验 ，即读数后再写出来和原数比对
，而写数后可以自己读出 。

10、比较亿以内数的大小：位数不同时，位数多的数大;位数相同时 ，从最高位比起
，最高位上的数大，这个数就大;如果最高位上的数相同 ，就比较下一位
，直到比较出大小为止
。

11 、改写成不同计数单位的数：

(1)整万、整亿的数：将个级的4个0改写成“万
”，将万级
、个级共8个0改写成“亿”

注意：整万、整亿的数的改写属于准确数 ，要用“= ”连接.

(2)非整万的数改写成以“万
”为单位的数：将万位以后的数作为尾数
，对尾数的最高位(千位)四舍五入，再改写成以“万”为单位的数

(3)非整亿的数改写成以“亿 ”为单位的数：将亿位以后的数作为尾数 ，对尾数的最高位(千万位)四舍五入，再改写成以“亿”为单位的数

12 、省略尾数(求近似数)：先分级
，再看省略的最高位上的数，用四舍五入法进一或舍去。省略亿位后面的尾数时 ，要看千万位
，省略万位后面的尾数时，要看千位 。(用 “≈
”)0~4为“舍” ，尾数清零且精确数位的数字不变
，5~9为“入 ”，尾数清零且精确数位上的数字加1
。注意：四舍五入后的结果是近似数 ，所以符号一定要用“≈
”.

准确数和近似数的区分：

⑴在实际问题中
，有些数据是与实际完全符合的准确数。如：四甲班有44个男同学，29个女同学 。这里的“44”“29 ”都是准确数
。

⑵还有些数据 ，只是与实际大体符合的近似数。我们在测定物体的长度
、质量时
，由于测量工具的限制，必然会产生误差 ，所得的结果都是近似数 。如：小明身高140厘米，体重35千克
。这里的“140
” 、“35”都是近似数。

⑶在对大的数目在进行统计时
，一般也只需要用它的近似数来表示 。如：平常说一个城市有50万人，一个钢铁厂去年产钢120万吨。这里的“50万 ” 、“ 120万
”都是近似数
。

“四舍五入”法：4
、3、2 、1
、0舍去;5、6 、7
、8、9舍去后向前一位进1。

用“= ”和“≈
”的区别：

7580000=758万 7508000≈751万

9000000000=90亿 9420000000≈94亿

12 、自然数：表示物体个数的1 ，2
，3，4 ，5
，6，7 ，8
，9，10 ，11
，……都是自然数 。一个物体也没有，用0表示 ，0也是自然数
。最小的自然数是0，没有最大的自然数
，自然数的个数是无限的。

13、十进制计数法：每相邻两个计数单位之间的进率都是十，这种计数方法叫十进制计数法 。

14
、计算工具的认识：

古时： “实物”、“结绳 ”“刻道”等方法来记数的
。

(1)算盘：14世纪 ，中国发明了算盘。算盘有上下两档
，上档每颗珠子代表5，下档每颗珠子代表1 ，每根杆相当于一个数位
，如“万位上的一颗上珠
”表示“5个万” 。

(2)计算器：CE或者AC是“清除键 ”，ON/C是“开关及清屏键
”
。OFF是关闭键。

15 、会用计算器计算和探索规律 。

2020小学四年级上册数学知识点归纳2

第二单元 公顷和平方千米

计量较大的土地面积时 ，常用 “ 公顷”和“平方千米(km2) ”作单位
。

1公顷=10000平方米 1平方千米=100公顷 1平方千米=1000000平方米

第三单元 角的度量

1.线段：是直线的一部分
，具有2个端点，可以度量长度 ，不可延长。

2
、射线：是直线的一部分
，只有1个端点，可以向一端无限延长 ，不可度量 。

3、直线：没有端点(或者说“有0个端点
”)，可以向两端无限延长
，不可度量。

4 、 角：从一点引出两条射线所组成的图形叫做角
。这一点叫做角的“顶点”，两条射线叫做角的两条“边 ”。 角的符号用“∠
”表示 。

5. 过点画直线的数量：

过一点可以画无数条射线
、无数条直线
。

因为“两点可以确定一条直线” ，所以过两点只能画出一条直线。

6、角的度量：工具是量角器 。

角的计量单位是“度 ”
，用符号“°
”表示
。把半圆分成180等份，每一份所对的角的大小是1度 ，记作1°。

步骤：(1)(量角器的)中心点与 (角的)顶点重合

(2)(量角器的其中一条)0刻度线与(角的)一条边重合

(3)角的另一条边所对应的量角器上的刻度就是这个角的度数

7 、角的大小比较：角的大小与角的两边的长短没有关系 。角的大小要看两条边张开的大小
，张开得越大，角越大
。

8
、会求一个已知角的余角、补角和对顶角：

如右图 ，若∠3=25°
，则∠4=90°-25°=65°

若∠1=25°，则∠2=180°-25°=155°

若∠1=25° ，则∠3=∠1=25°(对顶角相等)

9 、角的分类：

(1) 锐角<90°; 直角=90°; 90°<钝角<180°;平角=180°;周角=360°

(2) 1个平角=2个直角; 1个周角=2个平角=4个直角

10
、 钟面时间问题(求时针与分针的夹角)：因为周角是360°
，而钟面上有12个整点刻度，所以每两个整点刻度间的夹角是360°÷12=30°

11、 画角的方法：

A 、用量角器画角(如画65°的角)

(1)画一条射线 ，作为角的顶点和一条边

(2)使量角器的中心和射线的端点重合，0刻度线和射线重合

(3)在量角器(与0刻度线同圈的)65°刻度线的地方点一个点

(4)以画出的射线的端点为端点
，通过刚画的点，再画一条射线(因为“两点确定一条直线” ，用端点和刚画的点来确定另外一条边的位置)

(5)画小弧线
，标注

B、用三角板画角(如画75°的角)

画角方法和用量角器的相同，只是标注方法不同 ，需要标出这个角是由哪几个三角板上的角组合(加或减)而成的。

用三角板可画出所有15°倍数的角
，如75°
、105°、120° 、135°
、150°、165°

而用“一副(两个)三角板 ”可“拼出”75° 、105°
、120°、135° 、150°这几个角

2020小学四年级上册数学知识点归纳3

第四单元 三位数乘两位数

1
、 两位数乘一位数的口算乘法：(如16×3)把16分成10和6，先算10×3=30 ，再6×3=18
，最后算30+18=48，所以16×3=48 。

2、 三位数(末尾有0)乘一位数的口算乘法：(如160×3)把末尾0的部分先不看 ，看成16×3
，口算出得48，再在得数的末尾添上所有去掉的0 ，160末尾有1个0，所以添上1个0得480
，所以160×3=480
。

3 、 笔算乘法的方法：

先用两位数个位上的数去乘三位数，得数的末位与两位数的个位对齐;再用两位数十位上的数去乘三位数 ，得数的末位与两位数的十位对齐;最后把两次乘得的积加起来。

如145×12=17404
、 末尾有0的笔算乘法：

(1) 将0前面的数对齐
，先把0前面的数相乘 。

(2) 再看因数末尾一共有几个0，就在积的末尾添几个0.

如160×30=4800

5、 因数中间有0的乘法：注意用两位数去乘三位数时 ，三位数中间的0也要乘
，不要忘记加上进上来的数。

如 105×30=3150

6 、积的变化规律和积不变的规律：

两个数相乘，其中一个因数不变 ，另一个因数乘(或除以)几(0除外)
，积也乘(或除以)几
。

两个数相乘，其中一个因数乘几(0除外) ，另一个因数除以几(0除外)
，积不变。

7、乘法估算：

一要注意要符合实际情况，接近准确值 。 215×58≈12000

二是要将其中一个因数或两个因数“四舍五入
”成相近的整十
、整百数 ，简化计算
。

8、乘法验算的方法：

交换因数的位置再乘一次，看乘得的积是不是跟原来的积相同。

9 、常见的数量关系 ：

单价 × 数量= 总价 ;总价 ÷ 数量= 单价 ;总价 ÷ 单价= 数量

单价单位：元 / 数量单位(复合单位)

每件28元表示为：28元/件
，每本5元表示为：5元/本

速度 × 时间 =路程 ; 路程 ÷ 时间 = 速度 ;路程 ÷ 速度 = 时间 ;

速度单位：路程单位 / 时间单位 (复合单位)

如：每小时80千米表示为：80千米/时 读作：80千米每时 。

工作效率 × 工作时间= 工作总量

工作总量 ÷ 工作时间= 工作效率

工作总量 ÷ 工作效率= 工作时间

2020小学四年级上册数学知识点归纳4

第五单元 平行四边形和梯形

1
、同一平面内两条直线的位置关系：相交和不相交两种
。

2、平行：在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。

3 、垂直：如果两条直线相交成直角 ，就说这两条直线互相垂直
，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足 。

4
、画垂线的方法：边线重合、平移到点 、画线标号
。

5
、点到直线的距离：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短 ，它的长度叫做这点到直线的距离。 垂直线段 的 长度 叫 距离 。

6、平行线的画法：一贴 、二靠
、三移、四画
。

7 、平行线的性质：两条平行线之间的距离处处相等。

这个性质可以用来证明长方形对边相等且平行 。

8、画长方形和正方形时的要点：用垂直和平行的方法画图
，注意标注：长方形要标出一组邻边的长度(长和宽)，正方形要标出两条边长的长度 ，或者在旁边写出“长方形”
、“正方形 ”。

9、平行四边形和梯形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形;

只有一组对边平行的四边形叫做梯形
。

10 、四边形的特性：

四边形具有“容易变形
”的特性
，具有“不稳定性”。 应用：推拉门

把长方形拉成平行四边形，周长不变 ，面积变小 。

11
、平行四边形的底和高：从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线
，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底
。平行四边形有无数条高 ，但是从一个顶点向对边只能画一条高。画高要用虚线 。并做出垂足记号

12 梯形的底、高和腰：从梯形上底上的一点到下底引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做梯形的高
，梯形有无数条高
。但是从底的一个顶点向另一个底只能画一条高。

梯形的底是固定的两条边——————上底和下底(互相平行的一组对边分别叫做梯形的上底和下底);不平行的一组对边叫做梯形的腰 。

特殊的梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形，有一个角是直角的梯形叫做直角梯形
。等腰梯形不可能是直角梯形 ，直角梯形也不可能是等腰梯形。

12 、集合图：用集合图来表示四边形之间的关系

四边形包括平行四边形和梯形 。长方形和正方形是特殊的平行四边形
。因为它们具有平行四边形的特征。正方形又是特殊的长方形 。

14
、四边形内角和：四边形的内角和都是360°。

15、图形的裁剪：

(1) 平行四边形：平行四边形可以被裁剪成两个完全相等的三角形 、平行四边形或和梯形

方法：先确定中心点
，两条对角线的交点就是中心点，然后画一条通过中心点的虚线 ，这样就一定能把这个平行四边形平均分成两个完全一样的图形
。

(2) 梯形：梯形可以被裁剪成两个梯形
、一个平行四边形和一个三角形、两个三角形

16 、 图形的拼组(请自己画画看)：

(1) 两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。

(2) 两个完全一样的平行四边形可以拼成一个平行四边形 。

(3) 两个完全一样的长方形可以拼成一个长方形
。

(4) 两个完全一样的正方形可以拼成一个长方形。

(5) 两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形 。

(6) 两个完全一样的直角梯形可以拼成一个长方形或平行四边形
。

17
、对称轴：

长方形有2条对称轴
，正方形有4条对称轴，等腰梯形只有1条对称轴。平行四边形没有对称轴 。

2020小学四年级上册数学知识点归纳5

第六单元 除数是两位数的除法

1、 除法的意义：已知两个因数的积和其中的一个因数 ，求另一个因数的运算.

2 、 在以下4种情况的时候需要用到除法：

(1)求总数中含有几个每份的量. 如 求180里有几个30: 180÷30

(2)已知一个数的几倍是多少,求这个数. 一个数的3倍是270,求这个数?: 270÷3

(3)求一个数是另一个数的几倍. 如 求160是40的几倍: 160÷40

(4)求将总数平均分成几份.如 求把240平均分成6份
，每份是多少: 240÷6

3、 除法中的数量关系(有余数的除法)：

被除数÷除数=商……余数 被除数=商×除数+余数(验算的方法)

除数=(被除数-余数)÷商 商=(被除数-余数)÷除数

余数=被除数-除数×商

4
、 口算除法：整十数除整十数或几百几十数的口算,可以想乘法算除法,也可以先去掉被除数和除数末尾相同个数的0,再计算.(如160÷20=)① 想:20×8=160,所以160÷20=8.

②把160和20末尾的0各去掉一个，相当于算16÷2=8 ，所以160÷20=8. 理由见“商不变规律 ”

5、 “除以
”和“除”的不同： 读法 、意思有不同
，常作为考点

例:120除以30，列式为：120÷30=4 20除130 ，列式为：130÷20=6……10

6
、 除法估算的方法：根据被除数和除数的特点，先把不是整十数或几百几十的数看成与它接近的整十数或几百几十数
，再计算
。

7、 除数是整十数的笔算除法分为五步：一看，确定商的位置;二试 ，确定首先商几;三乘减
，把商和除数乘起来再用被除数来减乘积;四比，比除数和余数的大小 ，余数一定要比除数小;五落
，把被除数的个位落下来。

8 、 除数接近整十数的除法，一般按“四舍五入 ”法把除数看作和它接近的整十数来试商 。用四舍法试商 ，商容易偏大
，要把商调小;用五入法试商，商容易偏小 ，要把商调大
。

9
、 除数不接近整十数的除法
，既可以按照四舍五入法试商，也可以采取把除数看作和它接近的几十五的方法来试商。

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当前小学数学编排顺序和过去最大的不同，我以为是几何不再是从平面到立体
，而是从生活到立体，再到平面几何的新顺序 。

也就是说 ，正方体在正方形之前被认识
，圆球体在圆形之前被认识……立方体是存在于生活中的，平面图形是在此基础上被认识的。

但在“角
”这个知识点上 ，又有所不同：在生活世界中实体的各种角
，有平面几何中的角，但没有立体的角——圆锥是最接近立体意义上的角的 ，但它恰恰和角的定义相冲突
，不属于数学意义上的角
。

我们在二年级设定的角的认识，主要是这几点：观察生活和文化中的角 ，触摸到一个角现象；把角数学化
，从而得到平面几何意义上的角；理解生活中角的大小和数学中角的大小的不同意义；延伸到对最小的角和最大的角的想象。

二年级的孩子在家长的引导下，在生活中发现如下真实的角：牛角、羊角 、桌子角
、墙角、电视角 、门角
、菱角……

他们还在词语中还发现一些含“角”的词语 ，诸如：触角、号角 、口角、嘴角
、主角、配角 、死角
、元角分、独角兽 、独角戏……

角的汉字，取象于牛角——这显然是当时最常见也最特征鲜明的角 。由动物的特殊器官角
，到一般事物
、器物像角一样的部位，这就是角概念的一次泛化
。这时候 ，角的意义是语文上的
，不是数学上的。

面对形形色色的可见的角，我们该如何用数学的方式来表达呢？正是这第一次表达 ，使得圆锥体离开了角的定义
，在平面化的过程中，甚至最后连牛角 ，也不再属于数学的角了 。

这次数学化的过程
，是直接在平面上表达“角 ”——如果经由立体这一层，或许就会有不同于现在的定义
。

在纸面（也就是平面几何世界）上画一个角 ，显然具备三个要素：两条边
，相交于一点，并从这一点出发 ，形成一个或大或小的角度。一直要到四年级，教材才精确地把这一点叫做顶点
，把那两条边称作角的两条边——而且强调这两条边是射线，而不是直线或线段 。在二年级 ，教材只是强调平直的线
，实际上，学生往往下意识地理解为线段
。这种下意识的理解 ，其实是对角的本质的误解。也就是说
，学生并没有真正把“角
”数学化，而依然从生活的角度在理解角 。

一个典型的例子 ，就是在预习中让学生画出大角和小角
，学生用大的方桌表示大角，小的方桌表示小角
。而且这一点 ，仅仅二年级的教材既不纠正
，也难以纠正。我们知道，在大牛角、小牛角等生活的角认识上 ，学生这样理解是并无问题的 。但是进入数学之后，角意味着什么？此时角不是一个客观实体
，它也不是封闭的，在一定意义上 ，你并不能指出一个角究竟指的是什么。

所以大角和小角的讨论
，事实上是很容易陷入混乱的
。这时候一方面要强调生活中的角和数学中的角的不同，另一方面 ，需要用变化来提示不变的东西：数学中角概念的本质。

把角的一边延伸
，两边延伸，问角有没有变化 ，这是一种办法 。学生显然会认为角产生了变化
，那么这时候就要追问，角的一条边或者两条边延长了 ，但这里有什么没有产生变化？

学生显然能够发现角的开合度没有发生变化
。在此基础上
，用开合度的变化，才认识角。任何两根木棒一端固定起来 ，就成了类似圆规的东西 。如果把一条边固定起来（比如放在桌上），另一条边扩展开去
，让学生注意角的变化，这时候学生就得到了角大小的直观
。学生必然会赞同：这是角大小的变化 ，而刚才只是角边长短的变化。

在此基础上可以明确：角的两条边是可以往点的另一边延长的
，但它们的延长并不改变角的大小 。角的大小，就是这两条边组成的开合度
。

后面 ，除了寻找平面几何图形和立体几何图形中的各种角
，还可以教学的，就是几种最常见的角：直角 、锐角
、钝角。

这时候 ，不能引进度数的概念
，而要继续依赖于直观，把角定义为有一定角度的图形 。也就是说 ，两条边相对往两边延伸时
，就成了一条直的线，这时候 ，它就丧失了角这个概念开始时的意义
。但在数学上，我们或者选择把它理解为最大的角
，或者把它理解为一个非角的极限，也就是说 ，无限小于它的那个角
，就是最大的角。同理，两条边还在一起时 ，我们既可以理解为最小的角
，也可以理解为认识最小角的一个极限 。当然在后面的数学中，学生会扩展自己的认识 ，把这些都纳入角的认识中
，但在此时，过早的纳入将瓦解角的直观性 ，并不总是有利的。在此基础上
，我们把方方正正的角叫直角，大于直角的叫钝角 ，小于直角的叫锐角
。

在非常的情况下，如果这时候出现平角或者零角
，都是可以理解的，但显然它们是此时扩展的极限 ，本身只是界线
，不是理解与把握的范围。

到了四年级与角再度相逢时，情况就很不相同了 。在教材中 ，角之前
，把线从线段扩充到射线和直线，在此基础上 ，重新定义了角——也就是不再是两条线段
，而是两条射线组成了角，角边长的延伸 ，成了自然而然的事
。

然后教材就安排了角大小的比较
，为了更精确地表述大小，教材就直接引入了圆和360°。然后直接引进了量角器 ，以及量角器的使用 。

这样的安排在知识的掌握上是没有问题的，但在知识的理解上
，却显得突兀：为什么不是100而是360？为什么是圆而不是正方形？再进一步讲，这时候的圆是完全脱离了它的母体“各种几何图形”的 ，角在几何图形中会有怎样的呈现？符合怎样的规律？这固然是安排到更高年级教授的知识
，但让角脱离了这个背景进行单独传授，对于角的理解和认识是并不恰当的
。

我们在前一节课后 ，让学生试着用不的方式命名图形中的角
，以及理解它们之间的相互关系。

譬如上面左边的图形里，∠1+∠2 = ∠3 ，而必然∠3? >? ∠1
，因为整体大于局部 。在右边的图形中，可以称∠B和∠D ，但不能称∠A =? ∠C
，因为以A和C为顶点的，都有三个角
。哪三个角？这就带来了角的更精确的命名 ，这是以后的知识，但这里闪现一下
，看学生能不能精确命名，还是有挑战的意义的。事实上 ，有学生精确地表达出了∠BAC? =? ∠ACD 。甚至有一个学生说180°-∠ACD-∠CAD=∠D
。当然
，老师这时候不得不暂时装糊涂：180°是什么意思？学生回答说180°是平角。老师只能继续装糊涂：平角又是啥意思？180°从哪里来？你不能把书上的知识抄来，你得自己把知识的来由弄明白 。

而在这节课前 ，还埋下的本堂课最后将要向后延伸的一个知识点。设计的题目是这样的：“你能画一个三个角加起来尽可能大的三角形吗？试试
，或者说说
。 ”

大部分学生努力尝试着，而少数古怪精灵的学生或者已经提前学习的学生马上表示：不可能 ，因为三个角加起来一样大。甚至有学生说
，都是360° 。

到底人们是如何表示和计量角的大小的？这就直接奔向了四年级角知识的关键：角的度量
。

我们从直角三角形上的直角开始，发现两个直角三角形拼起来 ，就成了一个长方形
，把四个直角组合在一起，就正好把空间填满 ，形成了一个最大的角。最大的角由四个直角构成 。那么我们用什么样的工具来辅助度量角的大小呢
。通过回顾角的性质，我们知道角的大小与边长无关
，只与两条边的开合度有关，而在生活中 ，我们已经有了一种与它非常相似的工具在应用
，这就是钟表。钟表的三根针，始终在扮演着几个角的开合度大小 ，从最小
，到最大——也就是整个圆的开合度 。

那么钟表又采取了怎样的数值或者说计值方式呢？通过非常简单地回顾钟表是人类对时间的直观把握，因为一年有十二个月 ，所以12就成了时间计量中必须被整除的一个数
，而一年约有365天，能被12整除的 ，是360
，整除的结果是30，恰好接近一个月的天数
。但是30不能被12整除 ，只有它的倍数60才能被12整除，所以时间最常见的计数就是60进位。这就是钟表的奥秘
，而圆只是把这种思维方式，直接运用在自身身上 。于是人们规定一个圆为360° ，也就是把圆360等分
，第一份为1°
。

原来如此。

在此基础上，我们不忙着先去测量 ，在测量之前
，我们先利用概念，来扩充一下角的概念 。

这时候 ，平角已经不再是最大的角
，最大的角是圆角。角也不再是有突出的图形，而是一个纯粹的数学规定
。在这一规定中 ，它可以是0°
，可以是360°，当然更可以是180° ，而直角理所当然的是90°。锐角和钝角，也都用数学的方式
，作了大小的规定 。从原来小于直角的角叫锐角，变成现在的0°<锐角<90°
。

角的实际度量是一个操作问题 ，在示范和实战的过程中
，都并不难掌握。

在基本了解角的度量方法后，我们把熟练掌握放在了后面将不断接触的练习中 ，而把最初没有解决的预习题
，又提了上来：“你能画一个三个角加起来尽可能大的三角形吗？试试，或者说说 。”

越来越多的学生倾向于不能 ，那么就请学生告诉同学为何不能
。

一个学生说
，你们把画的三角形三个角剪下来，拼在一起 ，就是一个平角
，所以是三角形的三个角加起来都是180°。

另一个学生说，我用量角器把画出来的三个角都测量了 ，加起来正好是180° 。

老师说，都很聪明
，但方法不够数学
。因为测量可能不准确，拼起来也可能和平角不完全一样呢。怎样用数学的办法来证明？

学生思考 。下课了
。老师在三角形的顶上 ，画了一条辅助线：这里有一个平角
，它肯定是180°。但它和三角形的三个角，又有什么关系呢？

下课了 。

　1.大数的认识

　亿以内的数的认识：

　十万：10个一万；

　一百万：10个十万；

　一千万：10个一百万；

　一亿：10个一千万；

　2.数级

　数级是为便于人们记读阿拉伯数的一种识读方法 ，在位值制（数位顺序）的基础上
，以三位或四位分级的原则，把数读 ，写出来。通常在阿拉伯数的书写上
，以小数点或者空格作为各个数级的标识，从右向左把数分开
。

　3.数级分类

　（1）四位分级法

　即以四位数为一个数级的分级方法。我国读数的习惯 ，就是按这种方法读的 。

　如：万（数字后面4个0）、亿（数字后面8个0） 、兆（数字后面12个0
，这是中法计数）……

　这些级分别叫做个级，万级 ，亿级……

　（2）三位分级法

　即以三位数为一个数级的分级方法
。这西方的分级方法，这种分级方法也是国际通行的分级方法。如：千
，数字后面3个0
、百万，数字后面6个0、十亿 ，数字后面9个0…… 。

　4.数位

　数位是指写数时
，把数字并列排成横列，一个数字占有一个位置 ，这些位置
，都叫做数位
。从右端算起，第一位是“个位
” ，第二位是“十位”
，第三位是“百位 ”，第四位是“千位
” ，第五位是“万位”
，等等。这就说明计数单位和数位的概念是不同的 。

　5.数的产生

　阿拉伯数字的由来：古代印度人创造了阿拉伯数字后，大约到了公元7世纪的时候 ，这些数字传到了阿拉伯地区
。到13世纪时，意大利数学家斐波那契写出了《算盘书》
，在这本书里，他对阿拉伯数字做了详细的介绍。后来 ，这些数字又从阿拉伯地区传到了欧洲
，欧洲人只知道这些数字是从阿拉伯地区传入的，所以便把这些数字叫做阿拉伯数字 。以后 ，这些数字又从欧洲传到世界各国
。

　阿拉伯数字传入我国
，大约是13到14世纪。由于我国古代有一种数字叫“筹码 ”，写起来比较方便 ，所以阿拉伯数字当时在我国没有得到及时的推广运用 。本世纪初
，随着我国对外国数学成就的吸收和引进，阿拉伯数字在我国才开始慢慢使用 ，阿拉伯数字在我国推广使用才有100多年的历史。阿拉伯数字现在已成为人们学习 、生活和交往中最常用的数字了
。

　6.自然数

　用以计量事物的件数或表示事物次序的数。

　即用数码0
，1，2 ，3，4
，……所表示的数 。表示物体个数的数叫自然数，自然数由0开始(包括0) ，一个接一个
，组成一个无穷的集体
。

　7.计算工具

　算盘、计算器
、计算机

　8.射线

　在几何学中，直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线。如下图所示：

　射线特点

　（1）射线只有一个端点 ，它从一个端点向另一边无限延长 。

　（2）射线不可测量
。

　9.直线

　直线是点在空间内沿相同或相反方向运动的轨迹。

　 10.线段

　线段用表示它两个端点的字母或一个小写字母表示
，有时这些字母也表示线段长度，记作线段AB或线段BA ，线段a 。其中AB表示直线上的任意两点
。

11.线段特点

　（1）有限长度,可以测量

　（2）两个端点

12.线段性质

　（1）两点之间线段最短。

　（2）连接两点间线段的长度叫做这两点间的距离 。

　（3）直线上两个点和它们之间的部分叫做线段,这两个点叫做线段的端点
。

　直线没有距离。射线也没有距离 。因为
，直线没有端点，射线只有一个端点 ，可以无限延长。

13.角

　（1）角的静态定义

　具有公共端点的两条不重合的射线组成的图形叫做角
。这个公共端点叫做角的顶点
，这两条射线叫做角的两条边。

　（2）角的动态定义

　一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角 。所旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边 ，终止位置的射线叫做角的终边

14.角的符号

　角的符号：∠

　 15.角的种类

　角的大小与边的长短没有关系；角的大小决定于角的两条边张开的程度，张开的越大
，角就越大，相反 ，张开的越小
，角则越小
。在动态定义中，取决于旋转的方向与角度。角可以分为锐角、直角 、钝角
、平角、周角 、负角
、正角、优角 、劣角
、0角这10种 。以度、分 、秒为单位的角的度量制称为角度制
。此外 ，还有密位制
、弧度制等。

　（1）锐角：大于0°
，小于90°的角叫做锐角 。

　（2）直角：等于90°的角叫做直角
。

　（3）钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。

　 16.乘法

　乘法是指一个数或量，增加了多少倍 。例如4乘5 ，就是4增加了5倍率
，也可以说成5个4连加
。

　 17.乘法算式中各数的名称

　“×
”是乘号，乘号前面和后面的数叫做因数 ，“=”是等于号
，等于号后面的数叫做积。

　10（因数）×（乘号）200（因数）=（等于号）2000（积）

　 18.平行

　在平面上两条直线、空间的两个平面或空间的一条直线与一平面之间没有任何公共点时，称它们平行 。如图直线AB平行于直线CD ，记作AB∥CD。平行线永不相交
。

19.互相垂直

　垂直两条直线 、两个平面相交，或一条直线与一个平面相交
，如果交角成直角，叫做互相垂直。

20.平行四边形

　在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 。

21.梯形

　梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形
。平行的两边叫做梯形的底边 ，其中长边叫下底
，短边叫上底；也可以单纯的认为上面的一条叫上底，下面一条叫下底。不平行的两边叫腰；夹在两底之间的垂线段叫梯形的高 。

22.除法

　除法法则：除数是几位 ，先看被除数的前几位
，前几位不够除，多看一位 ，除到哪位
，商就写在哪位上面，不够商一 ，0占位
。

　余数要比除数小
，如果商是小数，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除数是小数 ，要化成除数是整数的除法再计算。

　扩展资料

　 11.“数位 ”与“位数
”、“计数单位”均为意义不同的概念 。

　“数位 ”是指一个数的每个数字所占的位置
。数位顺序表从右端算起，第一位是“个位
”
，第二位是“十位”，第三位是“百位 ” ，第四位是“千位”
，第五位是“万位
”，等等。同一个数字 ，由于所在的数位不同
，它所表示的数值也就不同 。例如，在用阿拉伯数字表示数时 ，同一个‘6’
，放在十位上表示6个十，放在百位上表示6个百 ，放在亿位上表示6个亿等等
。

　“位数”是指一个自然数中含有数位的个数。像458这个数有三个数字组成
，每个数字占了一个数位，我们就把它叫做三位数 。198023456由9个数字组成 ，那它就是一个九位数。“数位 ”与“位数
”不能混淆
。

　计数单位：一（个）
、十、百 、千
、万、十万 、百万
、千万、亿 、十亿
、百亿、千亿……，都是计数单位。“个位”上的计数单位是“一（个）
，“十位 ”上的计数单位是“十
”，“百位”上的计数单位是“百 ” ，“千位
”上的计数单位是“千”
，“万位 ”上的计数单位是“万
”等等 。所以在读数时先读数字再读计数单位
。

　 22.自然数知识扩展

　自然数集有加法和乘法运算，两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数 ，也可以作减法或除法
，但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。

　自然数是人们认识的所有数中最基本的一类 ，为了使数的系统有严密的逻辑基础
，19世纪的数学家建立了自然数的两种等价的理论：自然数的序数理论和基数理论，使自然数的概念 、运算和有关性质得到严格的论述 。一定是整数
。用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0 ，1
，2，3 ，4，……所表示的数 。表示物体个数的数叫自然数
，自然数由0开始(包括0)，一个接一个 ，组成一个无穷的集体
。

33.角的其他分类

　平角：等于180°的角叫做平角。

　优角：大于180°小于360°叫优角 。

　劣角：大于0°小于180°叫做劣角
，锐角
、直角、钝角都是劣角
。

　周角：等于360°的角叫做周角。

　负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角 。

　正角：逆时针旋转的角为正角。

　0角：等于零度的角
。

　余角和补角：两角之和为90°则两角互为余角，两角之和为180°则两角互为补角。等角的余角相等 ，等角的补角相等 。

　对顶角：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线
，这样的两个角叫做互为对顶角
。两条直线相交，构成两对对顶角。互为对顶角的两个角相等 。

　还有许多种角的关系 ，如内错角,同位角
，同旁内角（三线八角中，主要用来判断平行）

　 44.平行线的性质

　（1）两条直线平行 ，同旁内角互补
。

　（2）两条直线平行
，内错角相等。

　（3）两条直线平行，同位角相等 。

　55.平行线的判定(同一平面内)

　（1）同旁内角互补 ，两直线平行
。

　（2）内错角相等，两直线平行。

　（3）同位角相等
，两直线平行 。

　（4）如果两条直线同时与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行
。

　（5）如果两条直线同时垂直于第三条直线 ，那么这两条直线互相平行。

66.垂线性质

　(1)在同一平面内
，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 。

　(2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短
。

　(3)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度 ，叫做点到直线的距离。

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